牛顿法

这个在线计算器实现了牛顿方法(也称为牛顿-拉弗森方法),用于寻找实数值函数的根(或零)。

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Timur

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Wanghong

创建: 2021-11-27 13:46:32, 最后更新: 2021-11-30 13:38:58
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它使用 导数计算器 实现牛顿法,以获得一个给定函数的导数的分析形式,因为这个方法需要它。你可以在计算器下面找到一个理论来回忆方法的基本知识。

PLANETCALC, 牛顿法

牛顿法

小数点后的数字: 4
函数
 
导数
 
x
 
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牛顿-拉弗森方法1

在数值分析中,以牛顿和拉普森命名的牛顿方法(也称为牛顿-拉普森方法)是一种寻找实数值函数的根(或零)的连续较好近似值的方法。

该方法从定义在实数x上的函数f、该函数的导数f′和函数f的一个根的初始猜测x0开始。如果该函数满足公式推导中的假设,并且初始猜测很接近,那么更好的近似值x1就是
x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}

几何上, (x1, 0)是x轴和f的图形的切线在(x0, f(x0))的交点。

x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}时,该过程重复, 直到达到一个足够准确的值。

Ralf Pfeifer制作的牛顿方法的动画 (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NewtonIteration_Ani.gif)
Ralf Pfeifer制作的牛顿方法的动画 (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NewtonIteration_Ani.gif)

该方法的思路如下:从一个合理地接近真实根的初始猜测开始,然后用其切线来近似函数(可以用微积分的工具来计算),并计算该切线的x轴截距(用初级代数很容易做到)。这个x轴截距点通常比原来的猜测更接近于函数的根,而且这个方法可以反复进行。

牛顿法是一种非常强大的技术——通常收敛是二次的:当方法收敛于根时,根和近似值之间的差异在每一步都进行平方(准确数字的数量大约加倍)。 但是,该方法存在一些难点:计算函数的导数有困难,如果不满足牛顿方法二次收敛的假设,该方法就不能收敛到根上,对于倍数大于1的根,收敛速度很慢。

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