在线计算器: 判别式

在代数中，多项式的判别式是其系数的多项式函数，它允许在不计算多项式的情况下推导出根的某些性质。¹

你可能知道二次多项式 $ax^2+bx+c$ 的著名判别公式，即 $b^2-4ac$ ，并使用这个公式来计算根。

而且判别式实际上可以让我们推导出根的一些性质而不用求出它们。在二次多项式的情况下，当且仅当多项式有两相同的根时，它是零。如果多项式有两个实根，判别式为正的，如果根是复数，判别式是负的。

下面的计算器计算判别式，你可以在其下面找到更多关于判别式的理论。

二次多项式的判别式

二次多项式

判别式

二次多项式

判别式

n 次多项式的判别器: $A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ 可以用结果的商或根来定义。

用根来表示，判别式等于
${Disc}_{x}(A)={a_n}^{2n-2}\prod_{i < j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{{\frac{1}{2}}n(n-1)}{a_n}^{2n-2}\prod_{i\neq j}(r_{i}-r_{j})$

从技术上讲，我们可以在不知道判别式的情况下推导出二次方程的公式。然后，如果将根的派生表达式插入上面的定义中，您将得到 $b^2-4ac$ 。

用结果的商表示，判别式等于
${Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')$
其中 Res 为A与A'一阶导的结果。简而言之，其结果是A和A'的西尔维斯特矩阵的行列式。

在二次多项式的情况下，A是 $ax^2+bx+c$ 和 A'是 $2ax+b$ 。如果你写下这两个多项式的西尔维斯特矩阵并推导出行列式，你会再次得到 $b^2-4ac$ 。

高阶判别计算

使用第二个定义，您可以推导出更高阶多项式的公式(下面的链接有3次和4次的公式)，但它们相当复杂。
整数数列线上大全（OEIS） A007878 列出3次多项式的5项，4次多项式的16项，5次多项式的59项，最后是12次多项式的3815311项。
下面的计算器从一个多项式及其导数的结果计算一个更高次多项式的判别式

判别式

多项式系数

多项式系数，空间分隔，按照从高项到低项的顺序

计算精度

精确

近似

判别式

输入多项式

派生多项式

维基百科: 判别式 ↩

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判别式

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二次多项式的判别式

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高阶判别计算

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