线性丢番图方程求解器

这个计算器解决线性丢番图方程(LDE)。方程计算器就在下面,如果你想了解线性丢番图方程是什么,你可以在计算器之后找到理论。

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Timur

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Wanghong

创建: 2021-12-04 06:14:16, 最后更新: 2021-12-04 06:14:16
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PLANETCALC, 线性丢番图方程

线性丢番图方程

方程
 
x的所有解
 
y的所有解
 
x
 
y
 
隐藏的输出
 
隐藏的输出
 

因为这是关于数学的,我从百度百科上百度百科 摘录了一些内容作为开始。

在数学中,线性丢番图方程是一个包含两个或更多未知数的多项式方程,因此只搜索或研究整数解(整数解是所有未知数都取整数值的解)。 线性丢番图方程是两个零阶或一阶单项式和之间的方程。

最简单的线性丢番图方程是这样的:

ax + by = c,

其中a, b 和c是给定的整数, x, y —未知数。

以下定理完整地描述了这些解:当且仅当 c 是 a 和 b 的最大公约数的倍数时,这个丢番图方程有一个解(其中 x 和 y 是整数)。 此外,如果 (x, y) 是一个解,那么其他解的形式为 (x + kv, y - ku),其中 k 是一个任意整数,而 u 和 v 分别是 a 和 b 除以最大公约得的商。

要找到解,可以使用 扩展欧几里得算法 (除了 a = b = 0 要么有无限多个解,要么没有).

如果a和b是正整数,我们可以使用扩展欧几里得算法找到它们的最大公约数 g,同时使用 x_g и y_g, 所以:

ax_g + by_g = g.

如果c是g的倍数,丢翻图方程ax + by = c有解,否则没有解。

如果c是g的倍数,那么:

a x_g (\frac{c}{g}) + b y_g (\frac{c}{g})=c

其中一个可能的解是:

x_0 = x_g (\frac{c}{g})

y_0 = y_g(\frac{c}{g})

如果a或b有一个是负的,我们可以用它的模来解这个方程,然后相应地改变符号。

如果我们知道其中一个解,我们就能求出它们的一般形式。

令 g = 最大公约数(a,b), 我们得到:

ax_0 + by_0 = c.

\frac{b}{g} 加到 x_0 上,以及把 \frac{a}{g}y_0中减去, 我们得到:

a(x_0 + \frac{b}{g}) + b(y_0 - \frac{a}{g}) = ax_0+by_0 + \frac{ab}{g}-\frac{ba}{g}=c

任何像这样的数:
x = x_0 + k \frac{b}{g}

y = y_0 - k \frac{a}{g},

其中 k 是整数, 都是线性丢番图方程的解。

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