在线计算器: 三次方程

三次方程

用韦达定理解三次方程。（根据用户请求创建）

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	Timur 文章 : 三次方程 - 作者计算器 : 三次方程 - 作者
W	Wanghong 文章 : 三次方程 - 译者 en - zh 计算器 : 三次方程 - 译者 en - zh

创建: 2022-07-14 03:44:21, 最后更新: 2022-07-18 02:12:51

三次方程的标准形式是
$ax^3+bx^2+cx+d=0$

韦达定理用于解的方程为
$x^3+ax^2+bx+c=0$
因此，第一步是将所有系数除以a。

下面为计算器及使用韦达定理计算的说明

三次方程

系数 a

系数 b

系数 c

系数 d

显示详细信息

计算精度

小数点后的数字: 2

我唯一能找的用韦达定理解三次方程量的地方在这里

首先我们计算
$Q=\frac{a^2-3b}{9}$
$R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}$

然后
$S=Q^3-R^2$

如果 S > 0, 那么
$\phi = \frac{1}{3}\arccos\left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)$
有三个实根:

$x_1=-2\sqrt{Q}\cos(\phi)-\frac{a}{3}$
$x_2=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi+\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}$
$x_3=-2\sqrt{Q}\cos\left(\phi-\frac{2}{3}\pi\right)-\frac{a}{3}$

如果 S < 0, 三角函数用双曲函数函数代替。取决于Q的符号

Q > 0:
$\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arch}\left(\frac{|R|}{\sqrt{Q^3}}\right)$
$x_1=-2sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3}$
(实根)
$x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{Q}\,\operatorname{ch}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3}\sqrt{Q}\,\operatorname{sh}(\phi)$
(两复根)

Q < 0:

$\phi = \frac{1}{3}\,\operatorname{Arsh}\left(\frac{|R|}{\sqrt{|Q|^3}}\right)$
$x_1=-2sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3}$
(实根)
$x_{2,3}=sgn(R)\sqrt{|Q|}\, \operatorname{sh}(\phi)-\frac{a}{3} \pm i \sqrt{3} \sqrt{|Q|}\,\operatorname{ch}(\phi)$
(两复根)