拉格朗日多项式计算器

这个在线计算器为给定的一组点构建拉格朗日多项式,演示一步一步的解题过程,并在图表上绘制拉格朗日多项式及其基础多项式。如果给定额外的点,它还可以插入这些点

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Timur

Timur

Wanghong

创建: 2022-07-14 02:56:19, 最后更新: 2022-07-14 02:56:19

我写这个计算器是为了验证拉格朗日插值问题的解。在这些问题中,你经常被要求用拉格朗日插值公式从给定的数集,也就是一组点 xf(x),来插值对应于某个 x 值的未知函数值。

下面的计算器可以帮助完成以下工作:

1.它为给定的数集找到最终的拉格朗日多项式公式。
2.它一步一步地推导公式。
3.它通过计算拉格朗日多项式在给定 x 点(插值点)处的值来插值未知函数。
4.它在图表上绘制数集、插值点、拉格朗日多项式及其基础多项式。

使用

首先,输入数据点,每行输入一个点,格式为 x f(x),用空格分隔。如果你想用拉格朗日多项式插值函数,将插值点输入到下一个字段中,只有 x 值,用空格隔开。

默认情况下,计算器会显示最终的公式和插值点。如果您想查看多项式公式的解题过程,请打开“显示一步一步的解题过程”选项。下面的图表显示了拉格朗日多项式,以及它的基础多项式。这些是可以关闭的。

您也可以在计算器下面找到一些关于拉格朗日多项式的理论。

PLANETCALC, 拉格朗日多项式计算器

拉格朗日多项式计算器

小数点后的数字: 2
拉格朗日多项式
 
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拉格朗日多项式
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拉格朗日多项式

假设我们有一组未知函数的数点,其中每个 x 都是不同的:

(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})

让我们建立下面的多项式(称为拉格朗日多项式):

L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)

其中 \ell _{j}(x) 是拉格朗日基础多项式

\ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq m\leq k\\m\neq j\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}

如果你看一下任何 j 点的基数多项式的公式,你可以发现,对于所有不等于 j 的点 i , j 的基础多项式是零,而在 j 点, j 的基数多项式是1。就是说:

y_{j}\ell _{j}(x_{j})=y_{j} \cdot 1=y_{j}

L(x_{j})=y_{j}+0+0+\dots +0=y_{j}

这意味着拉格朗日多项式精确地插值了函数。

注意拉格朗日插值公式容易受到龙格现象的影响。在一组等距插值点上使用高次多项式时,存在区间边缘振荡的问题。记住这一点很重要,因为这意味着更高次(即在集合中拥有更多的数点)并不总是能够提高插值的准确性。

然而,也要注意,与其他插值公式不同,拉格朗日公式不要求x的值应该等距。它被用于一些技术来缓解这个问题,比如使用切比雪夫节点来改变插值点。

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