欧拉法

你可以使用这个计算器，用欧拉法求解给定初值的一阶微分方程

要使用这种方法，你应该有一个微分方程的形式：

你把方程右边的 f(x,y) 输入到下面的 y' 域中。

你还需要初始值为

以及点 你想通过它逼近 值。

该方法的最后一个参数：步长，实际上是沿着切线计算函数曲线的下一个近似的一个步骤。

如果你知道微分方程 y=f(x) 的精确解，你也可以输入它。在这种情况下，计算器还在图上绘制出解和近似值，并计算近似值在每一步上的绝对误差。

方法说明可以在计算器下面找到。

欧拉法

y'

x初始值

y初始值

近似点

步长

精确解(可选)

计算精度

小数点后的数字: 2

计算

微分方程

$\displaystyle{y \prime = y}$

y的近似值

2.59

近似值

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近似值

精确解

x{n}
近似值
精确解



近似值

n	x{n}	近似值	f(x,y)	dy	y{n+1}	精确解	绝对误差
0	0	1	1	0.1	1.1	1	0
1	0.1	1.1	1.1	0.11	1.21	1.11	0.0052
2	0.2	1.21	1.21	0.12	1.33	1.22	0.0114
3	0.30	1.33	1.33	0.13	1.46	1.35	0.0189
4	0.4	1.46	1.46	0.15	1.61	1.49	0.0277
5	0.5	1.61	1.61	0.16	1.77	1.65	0.0382
6	0.6	1.77	1.77	0.18	1.95	1.82	0.0506
7	0.7	1.95	1.95	0.19	2.14	2.01	0.0650
8	0.80	2.14	2.14	0.21	2.36	2.23	0.0820
9	0.90	2.36	2.36	0.24	2.59	2.46	0.1017
10	1.00	2.59				2.72	0.1245
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欧拉法

假设我们有以下这些等式

如果我们计算

我们能求出初始点的导数 y'

对于足够小的，我们可以将 y 的下一个值近似为：

或者, 简化为：

一般情况下

我们继续使用这个关系计算下一个 y 值，直到我们到达目标的 x 点。

这就是欧拉法的本质。 是步长。每一步的误差(局部截断误差)大致与步长的平方成正比，所以步长越小，欧拉法越精确。然而，全局截断误差是局部截断误差的累积效应，与步长成正比，这就是为什么欧拉方法被称为一阶方法。

更复杂的方法可以达到更高的阶数(和更高的精度)。一种可能性是使用更多的函数求值。 这将由中点法来说明。