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欧拉法

这个在线计算器实现了欧拉方法,这是一种一阶数值方法,用于解给定初值的一阶微分方程。

这个页面的存在是由于以下各位的努力:

Timur

Timur

Wanghong

创建: 3年前, 最后更新: 3年前

你可以使用这个计算器,用欧拉法求解给定初值的一阶微分方程

要使用这种方法,你应该有一个微分方程的形式:
y \prime = f(x,y)
你把方程右边的 f(x,y) 输入到下面的 y' 域中。

你还需要初始值为
y(x_0)=y_0
以及点 x 你想通过它逼近 y 值。

该方法的最后一个参数:步长,实际上是沿着切线计算函数曲线的下一个近似的一个步骤。

如果你知道微分方程 y=f(x) 的精确解,你也可以输入它。在这种情况下,计算器还在图上绘制出解和近似值,并计算近似值在每一步上的绝对误差。

方法说明可以在计算器下面找到。

PLANETCALC, 欧拉法

欧拉法

小数点后的数字: 2
微分方程
y=y
y的近似值
2.59
近似值
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近似值
精确解
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.21.41.61.82.02.22.42.62.8

近似值

nx{n}近似值f(x,y)dyy{n+1}精确解绝对误差
00110.11.110
10.11.11.10.111.211.110.0052
20.21.211.210.121.331.220.0114
30.301.331.330.131.461.350.0189
40.41.461.460.151.611.490.0277
50.51.611.610.161.771.650.0382
60.61.771.770.181.951.820.0506
70.71.951.950.192.142.010.0650
80.802.142.140.212.362.230.0820
90.902.362.360.242.592.460.1017
101.002.592.720.1245

欧拉法

假设我们有以下这些等式
y \prime = f(x,y) \\ y(x_0)=y_0

如果我们计算
f(x_0,y_0)

我们能求出初始点的导数 y'

对于足够小的\Delta x,我们可以将 y 的下一个值近似为:
y(x_0+\Delta x)=y(x_1)=y_0+\Delta y=y_0+y \prime |_{x=x_0} \Delta x=y_0+f(x_0,y_0)\Delta x

或者, 简化为:
y_1=y_0 + f_0 \Delta x

一般情况下
y_{i+1}=y_i + f_i \Delta x

我们继续使用这个关系计算下一个 y 值,直到我们到达目标的 x 点。

这就是欧拉法的本质。\Delta x 是步长。每一步的误差(局部截断误差)大致与步长的平方成正比,所以步长越小,欧拉法越精确。然而,全局截断误差是局部截断误差的累积效应,与步长成正比,这就是为什么欧拉方法被称为一阶方法。

更复杂的方法可以达到更高的阶数(和更高的精度)。一种可能性是使用更多的函数求值。 这将由中点法来说明。

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