在线计算器: 欧拉法

你可以使用这个计算器，用欧拉法求解给定初值的一阶微分方程

要使用这种方法，你应该有一个微分方程的形式：
$y \prime = f(x,y)$
你把方程右边的 f(x,y) 输入到下面的 y' 域中。

你还需要初始值为
$y(x_0)=y_0$
以及点 $x$ 你想通过它逼近 $y$ 值。

该方法的最后一个参数：步长，实际上是沿着切线计算函数曲线的下一个近似的一个步骤。

如果你知道微分方程 y=f(x) 的精确解，你也可以输入它。在这种情况下，计算器还在图上绘制出解和近似值，并计算近似值在每一步上的绝对误差。

方法说明可以在计算器下面找到。

x初始值

y初始值

近似点

步长

精确解(可选)

计算精度

小数点后的数字: 2

微分方程

y的近似值

近似值

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假设我们有以下这些等式
$y \prime = f(x,y) \\ y(x_0)=y_0$

如果我们计算
$f(x_0,y_0)$

我们能求出初始点的导数 y'

对于足够小的 $\Delta x$ ，我们可以将 y 的下一个值近似为：
$y(x_0+\Delta x)=y(x_1)=y_0+\Delta y=y_0+y \prime |_{x=x_0} \Delta x=y_0+f(x_0,y_0)\Delta x$

或者, 简化为：
$y_1=y_0 + f_0 \Delta x$

一般情况下
$y_{i+1}=y_i + f_i \Delta x$

我们继续使用这个关系计算下一个 y 值，直到我们到达目标的 x 点。

这就是欧拉法的本质。 $\Delta x$ 是步长。每一步的误差(局部截断误差)大致与步长的平方成正比，所以步长越小，欧拉法越精确。然而，全局截断误差是局部截断误差的累积效应，与步长成正比，这就是为什么欧拉方法被称为一阶方法。

更复杂的方法可以达到更高的阶数(和更高的精度)。一种可能性是使用更多的函数求值。这将由中点法来说明。

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