数值积分
用矩形法、梯形法、辛普森法或其他牛顿-柯特斯积分法计算定积分。
数值法 可用于定积分值逼近。 数值积分用于不可能通过分析评估反导数，然后使用 牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的情况。
单个参数函数的数值积分 可以由给定函数的图形、x轴和给定极限的垂线所限定的曲线梯形的面积(或 求积)计算。
被积函数被替换为一个更简单的函数(它有不定积分)以给定的精度逼近被积函数。将被积函数替换为拉格朗日多项式，在给定极限的等间隔点上求值，得到牛顿-柯特积分公式，例如:
使用牛顿-柯特斯公式的数值积分
使用牛顿-柯特斯公式计算数值积分
使用牛顿-柯特公式，积分区间除以点x1,x2,x3... Xn分成相等的线段。
使用牛顿-柯特斯公式，积分区间除以点 x1,x2,x3..xn 分成相等的线段。
被积函数用不同次数的拉格朗日多项式代替，对拉格朗日多项式积分得到不同精度的数值积分公式。
最后用积分点被积值的加权和来计算定积分逼近:
- Wi - 权重，由积分法确定
- Rn - 余数或错误。
- n - 积分点的数量
-
求和公式是一种求积法则。
牛顿-柯特斯正交函数 手册包含几个常见的在等距的区间上的牛顿-柯特斯正交规则的积分。 任何注册用户都可以在本手册中添加一个新的积分规则。
积分段限制
根据积分方法使用的端点，可以区分开 或者 闭规则。
开规则不使用端点。 在被积函数在某些点未定义的情况下，可以使用开放集成方法。
例如，在ln(0)没有定义的情况下，用矩形法可以近似求ln(x)在(0,1)线段上的定积分值。
开区间规则 不能使用端点。 在被积函数在某些点未定义的情况下，可以使用开积分方法。
例如，在ln(0)没有定义的情况下，用矩形法可以近似求ln(x)在(0,1)段上的定积分值。
相反，_闭区间规则_使用端点和中点来计算被积函数的值。
半开半闭规则(例如，左矩形规则或右矩形规则)也可用于在仅有一侧开区间的线段上的近似积分。
牛顿-柯特斯法则逼近误差
一般通过积分点数量的增加(多项式的次数的增加)来提高积分精度。但对于某些函数，它是无效的。
德国数学家Karl Runge首先分析了这一奇怪现象。
他注意到，对于函数的等间隔插值多项式在0.726.. ≤ |x| <1 范围内随着多项式次数增加会停止收敛。
这可以通过查看误差方程来解释。 公式包括区间h和阶乘n!； 如果 n 趋于无穷大，两者都会提高精度，但是 n 阶导数部分值会降低误差方程中的精度，对于特定函数会提高得更快。
此外，随着插值多项式次方的提高，我们得到负加权，这会增加计算误差。 计算器以图形形式显示中间求积函数的结果。 只有正Wi权重的方法看起来像黎曼和表示。 如果存在负Wi权重，则图形的正负两半均比积分区间宽。 这种效果可以在这里看到:11个节点的闭区间牛顿-柯特斯法则
考虑到这些情况，当多项式次数>10时不建议使用规则。
为了提高积分精确度，可以将积分区间分成几个部分，每个部分都可以用任意积分规则单独计算定积分。最后的积分值是每个部分区间的积分之和。
要评估等区间的新的积分方法，您可以使用以下带有输入框的计算器来输入权重：
有明确的牛顿-柯特斯公式系数的数值积分
权重是用逗号分隔的实数或普通分数。权重表中的第一个系数是一个公共乘数;如果没有公共乘数，请输入1。
例如， 3/8,1,3,3,1 权重可以用于辛普森 3/8 法则
用牛顿-柯特斯积分法则求定积分近似远非理想。对于真正的应用，你应该使用更好的方法，例如高斯-克朗罗德法则。希望在不久的将来，我们将用新的计算器和文章来说明它。
文献:
- N.S. Bakhvalov数值方法，2012
- U.G.Pirumov 数值方法, 2006
- D. Kahaner, C.Moler, S.Nash Numerical methods and software（数值方法和软件）, 1989
- R.V. Hamming Numerical methods for scientists and engineers（科学家和工程师的数值方法 ）, 1972
- M. Abramovitz и I. Stegun Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs and Mathematical Tables（数学函数与公式、图形和数学表手册）, 1973
评论