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给定两点的直线方程

这个在线计算器可以用截斜式和参数式求出给定两点的直线方程。

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	Timur 文章 : 给定两点的直线方程 - 作者计算器 : 两点的参数直线方程 - 作者计算器 : 两点的截斜式直线方程 - 作者
W	Wanghong 文章 : 给定两点的直线方程 - 译者 en - zh 计算器 : 两点的参数直线方程 - 译者 en - zh 计算器 : 两点的截斜式直线方程 - 译者 en - zh

创建: 2021-11-27 02:20:32, 最后更新: 2021-12-01 13:27:54

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如果直线上有两点，你可以求出直线的方程。然而，对于直线方程，存在着不同的形式。在这里你可以找到两个计算直线方程的计算器:

第一个计算器求截斜式直线方程, 即,
$y=ax+b$
它还输出斜率和截距参数，在坐标图上显示为直线。
第二个计算器可求参数形式的直线方程, 即,
$x=at+x_0\\y=bt+y_0$
它还输出方向向量，并在坐标图上显示直线和方向向量。

计算器下面的文本和公式描述了如何从两点手动求出直线方程。

两点的截斜式直线方程

第一点

x

y

第二点

x

y

直线方程

斜率

截距

计算精度

小数点后的数字: 2

两点的参数直线方程

第一点

x

y

第二点

x

y

x的方程式

y的方程式

方向向量

计算精度

小数点后的数字: 2

如何求截斜式直线方程

让我们从两个已知点求直线方程的截斜式 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_1, y_1)$ .
我们需要求斜率 a 和截距 b.
对于两个已知的点，关于 a 和 _b_我们有两个方程
$y_0=ax_0+b\\y_1=ax_1+b$

我们用第二式减去第一式
$y_1 - y_0=ax_1 - ax_0+b - b\\y_1 - y_0=ax_1 - ax_0\\y_1 - y_0=a(x_1 -x_0)$
在此
$a=\frac{y_1 - y_0}{x_1 -x_0}$

注意 b 可以这样表达
$b=y-ax$
因此，一旦我们有了 a, 计算 b 就很简单，只要把 $x_0, y_0, a$ 或 $x_1, y_1, a$ 代入上面的式子中。

最后，我们用算出的 a 和 b 写成如下的结果
$y=ax+b$

垂线方程

注意，垂线的斜率和截距是未定义的，因为直线平行于y轴。在这种情况下，方程变成了 $x=x_1$

水平线方程

注意，水平线的斜率为0，截距等于交点的y坐标，因为这条线平行于x轴。在这种情况下，方程变成了 $y=y_1$

求直线的截斜式方程的例子

题目:求给定点 (-1, 1) 和(2, 4)的截斜式直线方程
解答:

计算斜率 a:
$a=\frac{y_1 - y_0}{x_1 -x_0} = \frac{4 - 1}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1$
用任意一点的坐标计算截距 b 。这里我们用坐标 (-1, 1):
$b=y_0 - a x_0 = 1 - 1\cdot(-1)=2$
写出最后一个直线方程(斜率可以不写，因为它等于1):
$y=x+2$

这就是你如何将这个问题输入到上面的计算器中: 截斜式直线方程的例子

参数直线方程

我们用两个已知点 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_1, y_1)$ 求直线方程的参数方程。
我们需要找到方向向量的分量，也就是位移向量。
$D=\begin{vmatrix}d_1\\d_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_1-x_0\\y_1-y_0\end{vmatrix}$
这个向量量化了沿着从第一个点到第二个点的直线的假想运动的距离和方向。

一旦我们有了从 $x_0, y_0$ 到 $x_1, y_1$ 的方向向量，我们的参数方程就是
$x=d_1t+x_0\\y=d_2t+y_0$
注意，如果 $t = 0$ , 那么 $x = x_0, y = y_0$ 并且如果 $t = 1$ , 那么 $x = x_1, y = y_1$

垂线方程

注意，垂线的水平位移为零，因为直线平行于y轴。在这种情况下，直线方程变成了
$x=x_0\\y=d_2t+y_0$

水平线方程

注意，水平线的垂直位移为零，因为直线平行于x轴。在这种情况下，直线方程变成
$x=d_1t+x_0\\y=y_0$

求直线参数方程的例子

问题:求给定点 (-1, 1) 和 (2, 4)的参数直线方程
解答:

计算位移矢量:
$D=\begin{vmatrix}d_1\\d_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_1-x_0\\y_1-y_0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2-(-1)\\4-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3\\3\end{vmatrix}$
写出直线方程:
$x=3t-1\\y=3t+1$

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PLANETCALC, 给定两点的直线方程

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