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学习数学代数

复数介绍

该计算器在复平面上显示复数及其共轭复数，求复数的绝对值和辐角主值。 它还演示了复数的基本运算。

这个页面的存在是由于以下各位的努力:

A

Anton

W

Wanghong

创建: 2021-12-05 03:27:21, 最后更新: 2021-12-06 12:38:15

从16世纪开始，数学家们面临着特殊数的必要性，也就是今天所说的复数。复数是a +bi形式的数，其中a,b 是实数部分，i 虚数单位是方程 i2=-1的解。
追溯数学家对复数问题看法的演变过程非常有趣。在此引述一些关于这个话题的古代著作:

  • 16世纪：算术的进展如此精妙，其结果......既精致又无用。 1
  • 17世纪：分析的奇迹，思想世界的奇迹，一个在存在与非存在之间的几乎两栖的物体，我们称之为虚数。 2
  • 18世纪 : 负数的平方根不等于零，不小于零，不大于零。负数的平方根不属于实数，所以它们是不真实的数字。这种情况使人们想到了数字，这些数字本质上是不可能的，通常被称为虚数，因为它们只是在头脑中可以想象的。 3
  • 19 世纪 没有人质疑我们通过虚数微积分获得的结果的准确性，尽管它们只是代数形式，以及虚量的象形文字。4

它在复数定义中有多种用法。我们将展示其中的三个

代数形式

z = a + bi,
其中 a and b - 实数, i - 虚数单位, 因此 i2=-1. a - 对应实数部分, b - 虚数部分。

极坐标形式

z = r (\cos \vaphi +i \sin \varphi),
其中 r - 复数的绝对值:
r = |z| =\sqrt{a^2+b^2}
为复平面上点0到复点的距离，φ为正实轴与复矢量之间的夹角(辐角)。

指数形式(欧拉形式)

z = r e^{i\varphi} 是由欧拉公式导出的极坐标形式的简化式。

PLANETCALC, 复数

复数

小数点后的数字: 2
极坐标形式
 
欧拉形式
 
复数
 
绝对值
 
辐角主值(弧度)
 
辐角主值(度)
 
共轭
 
复平面
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复数的辐角是多值函数arg(z)=\varphi+2\pi{k}, 其中k 为整数。 辐角主值是开放区间上的单一值 (-π..π]。
主值可用以下公式由代数形式计算:
\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\dfrac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\{\text{indeterminate }}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}
这种算法是在javascript的Math.atan2函数中实现的。

下面的示例定义了复数的所有初等算术运算:

PLANETCALC, 复数初等运算

复数初等运算

小数点后的数字: 2
结果（z）
 
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复数加分

一个复数可以像多项式一样和另一个复数相加:
z_1+z_2 = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i

复数乘法

使用复数定义i*i=-1，我们可以很容易地解释复数乘法公式:
z_1 \dot z_2 = ({a_1}{a_2}-{b_1}{b_2}) + ({a_1}{b_2}+{a_2}{b_1})i

复数除法

为了推导出复数除法公式，我们将分子和分母同时乘以复数的共轭复数(消除分母中的虚数单位):
\frac{z_1}{z_2}=\frac{{z_1}\overline {z_2}}{{z_2}\overline {z_2}}
共轭复数被定义为:
\overline z = a-b i
所以最终的除法公式是:
\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i

复数指数计算

使用欧拉形式:
z^n=r^ne^{{i}{n}\phi}
这个公式是由德·莫弗尔公式推导出来的:
{\big (}\cos(x)+i\sin(x){\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)

n次方根

由德·莫弗尔公式, 复数z (1/n的幂) 的n次根由下式给出:
\sqrt[n]{z} = r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right),
有n个根, 其中 k = 0..n-1 —一个根的整数指数。根可以在复平面上显示为常规多边形的顶点。

  1. 卡达诺:《伟大的艺术或代数规则》, (1539) ↩

  2. 莱布尼茨(根据维基百科) ↩

  3. 欧拉:《通用算术》 (1768) § 142-143 ↩

  4. 卡诺:《关于无限小分析的形而上学原则的反思》(1797)，104页，布劳内尔译 ↩

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