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高斯消去法

该计算器采用行约简(高斯消去)法求解线性方程组。计算器产生一步一步的解决方案说明。

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Anton

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Wanghong

Timur

Timur

创建: 2022-02-03 03:26:43, 最后更新: 2022-02-03 03:26:43

线性方程组:
\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases}
可借助计算器用高斯消去法求解。

在高斯消去法中，线性方程组表示为增广矩阵，即包含方程系数a_{ij}和含项数[n:n+1]的常数项 b_i的矩阵:
\begin{array}{|cccc|c|} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_2\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} & b_n\\ \end{array}

PLANETCALC, 高斯消去法法

高斯消去法法

小数点后的数字: 2
方程解的个数
 
解向量
 
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高斯消去法

该方法以19世纪德国天才数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）的名字命名。高斯本人并没有发明这种方法。行相减的方法为中国古代数学家所熟知，在二世纪出版的中国数学著作《九章算术》中有这样的描述。

前向消去法

高斯消去法的第一步是求行阶梯形矩阵。这个矩阵的左下部分只包含0，所有的0行都在非零行的下面:
\begin{array}{|cccc|c|} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & \beta_1\\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} & \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & a_{nn} & \beta_n\\ \end{array}

矩阵通过基本的行运算简化为这种形式:交换两行，将一行乘以一个常数，在一行上加上另一行的标量倍数。
我们的计算器使用上面一行的顺序减法得到梯阵式 A_i, 乘以{a_{ji}} 从下面的行 A_j , 乘以 {a_{ii}}, 其中 i — 前导系数行(主行)。
得到一个非零的前导系数是很重要的。如果它变成了零，这一行就会被替换成一个更低的系数在相同的位置上是非零的系数。

逆向代入

在这一阶段继续进行初等行运算，直到找到解为止。最后，把矩阵化为行简化梯阵式:
\begin{array}{|cccc|c|} 1 & 0 & ... & 0 & \beta_1\\ 0 & 1 & \vdots & 0 & \beta_2 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \beta_n\\ \end{array} ,

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Anton2022-02-03 03:26:43

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