Polynom in Standardform

Dieser Online-Rechner präsentiert ein multivariates Polynom in einer Standardform (expandierte Parenthese, Exponenten, und kombinierte ähnliche Terme). Polynomvariable können in kleingeschriebenen englischen Buchstaben oder unter Verwendung von Exponenten Tupelformen angegeben werden. Zum Beispiel sind die folgenden zwei Notationen gleich: 3a^2bd + c and 3 [2 1 0 1] + [0 0 1]. Man kann die Darstellung der Ausgabevariablen in Symbolik-Form, indizierte Variablenform oder als Tupel von Exponenten auswählen. Der Rechner gibt auch den Grad des Polynoms und den Vektor der monomische Grade angeben. Die Koeffizienten des resultierenden Polynoms kann man mit rationalen und reellen Zahlen berechnen.

Polynom in Standardform

2(7ab+3a^2b+cd^4)(2ef-4a^2)-7b^2ef

Multivariates Polynom

Monomische OrdnungLexikographische gestufte Lexikographie gestufte umgekehrte Lexikographie

VariablenSymbolisch Indiziert Exponenten Array

Normalisieren

berechnen

Präzesionsberechnung

Genau

Gerundet

Zahlen nach dem Dezimalpunkt: 2

Ergebnis

 

Polynom Grad

 

Monomische Grade

 

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Monom

Ein Monom ist das Produkt der Potenz von verschiedenen Variablen x_i mit nicht-negativen ganzzahligen Exponenten a_i:

Falls die Anzahl von Variablen ist klein, kann man die Polynomvariablen in lateinischen Buchstaben schreiben. Z.B sind x₁²x₂ und x²y äquivalente Notationen von einem Monom mit 2 Variablen.
Ein Monom kann auch als ein Tupel von Exponenten dargestellt werden:

Z.B. kann das Monom x²y³z als Tupel: (2,3,1) repräsentiert werden.
Der monomische Grad ist die Summe aller variablen Exponenten:

Z.B ist der Grad des Monoms x²y³z ist 2+3+1 = 6

Polynom

Ein Polynom ist eine endliche Summe von Monomen multipliziert mit dem Koeffizienten c_I:

Ein polynomischer Grad deg(f) ist das Maximum von monomischen Graden |α| mit nicht-nullen Koeffizienten.
Anders als Polynomen mit einer Variablen, haben multivariate Polynome mehrere Monome mit dem gleichen Grad haben.
Daher stellt sich dann die Frage nach der Bestimmung der Ordnung auf der Term-Menge des Polynoms.

Monomische Ordnung ¹

Es gibt verschiedene Wege, um die monomische Ordnung zu spezifizieren.

Lexicographische Ordnung

Die einfachste monomische Ordnung ist die lexikographische. In diesem Fall ist die ganz linke Koordinate ungleich Null des Vektors, die durch das Subtrahieren der Exponent Tupel des verglichenen Monoms ermittelt wird, positiv:

Ein Beispiel für die lexikographischen Ordnung:

Das erste Monom x^α ist lexikographisch größer als das zweite x^β, da man nach der Subtraktion des Exponent Tupels (0,1,-2) erhält, wobei die ganz linke Koordinate ungleich Null positiv ist.

Gestufte Lex Ordnung

Die gestufte lexikographische Ordnung wird hauptsächlich durch den Grad des Monoms ermittelt. Falls der Grad größter ist, dann ist das Monom ebenfalls größer angesehen. Im Falle eines gleichgroßen Grades, wird der lexikographische Vergleich angewandt:

Beispiele einer gestuften Lex Ordnung:
a)

Das Monom x^β ist größer als x^α, da der Grad |β|=7 größer ist als der Grad |α|=6.
b)

Das Monom x^α ist größer als x^γ, da beide den Gleichen Grad haben, aber das erste lexikographisch größer ist als das zweite.

Gestufte umgekehrte Lex Ordnung

Die gestufte umgekehrte lexikographische Ordnung ist der vorherigen ähnlich. Falls der Grad größer ist, dann ist das Monom auch größer betrachtet. Das Monom ist größer, wenn der an der recht weitesten Koordinate ungleich Null des Vektors, den man durch die Subtraktion des Exponent Tupels von den verglichenen Monomen erhalten wird, negativ im Falle von gleichen Graden ist.

Beispiele von gestuften umgekehrten lexikographischen Vergleichen:
a)

Das Monom x^β ist größer als x^α, da der Grad |β|=7 größer ist als Grad |α|=6.
b)

Das Monom x^γ ist größer als x^α, da die Grade gleich sind, aber die Subtraktion von Exponent-Tupeln (-1,2,-1) ergibt, und der Wert am weitesten rechts unter null ist.